Experimentando con mis amigos y la paradoja del cumpleaños!

Ayúdame a responder tres preguntas, por favor:

1) ¿Si te pidiera hacer una lista de todas las personas que conoces, cuántas personas crees que estarían incluidas en esa lista? Tal vez puedas recordar decenas o incluso centenas de personas.

2) Entre todas esas personas, ¿cuántas crees que cumplan años el mismo día? Tal vez las puedas contar con una sola mano si es que recuerdas sus días de cumpleaños.

Ahora, con tus respuestas anteriores en mente, intenta responder la siguiente pregunta.

3) ¿Si formaras grupos de personas al azar, cuántas personas crees que necesitarías incluir en cada grupo, para que en la mitad de ellos exista al menos un cumpleaños repetido?

Estoy seguro de que la respuesta te sorprenderá. Por lo tanto, en este artículo calcularemos la probabilidad de cumpleaños repetidos en un grupo de personas y después analizaremos el caso experimental formando grupos de personas con sus cumpleaños obtenidos a partir de mis amigos de Facebook.

La probabilidad de cumpleaños repetidos

Comencemos por el caso más sencillo, el cual involucra a tan solo dos personas. Además, supongamos que sus cumpleaños pueden ocurrir en cualquiera de los 365 días del año y que no existen años bisiestos. La forma de calcular la probabilidad de que tengan o no el mismo día de cumpleaños se muestra en la imagen 1. Según este sencillo cálculo, dos personas elegidas al azar tienen una probabilidad de 0.27% de cumplir años el mismo día, lo que significa que tan solo una pareja de entre 370 tiene a ambas personas con el mismo día de cumpleaños. También, puedes notar que la suma de la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día con la probabilidad de que no cumplan años el mismo día es igual a 100%.

Tal vez te parezca extraño, pero calcular cuando muchas personas no comparten el mismo día de cumpleaños resulta más fácil de calcular que cuando sí. En el ejemplo de la imagen 2, más o menos 97 de cada 100 grupos de 5 personas no tienen integrantes que cumplan años el mismo día, lo que deja a 3 grupos donde al menos dos personas comparten su cumpleaños.

Ahora que ya sabes calcular la probabilidad de cumpleaños repetidos en un grupo de personas, ya eres capaz de responder con exactitud la pregunta 3 que te hice al inicio. ¿Si formaras múltiples grupos de personas al azar, cuántas personas crees que necesitarías incluir en cada grupo, para que en la mitad de ellos exista al menos un cumpleaños repetido? En otras palabras, con cuántas personas la probabilidad de cumpleaños repetidos (o de no cumpleaños repetidos) es igual a 50%. La respuesta la puedes observar en la siguiente gráfica, donde se incluye la probabilidad calculada desde 2 hasta 104 personas. Claramente, la probabilidad de encontrar al menos un cumpleaños repetido en un grupo de personas incrementa conforme el grupo se vuelve más grande, pero, esperabas que se lograra 50% en grupos de tan solo 23 personas? Pues esta es la paradoja del cumpleaños, porque estoy seguro de no esperabas un resultado tan pequeño, y porque seguramente conoces muchas personas, pero muy pocas con el mismo cumpleaños. Aunque, siendo estrictos con el término, esto no ninguna paradoja, sino una discrepancia entre el resultado correcto y el que originalmente imaginaste sería el correcto.

La paradoja del cumpleaños puesta a prueba

La primera vez que leí este problema me quedé con la duda sobre la veracidad del cálculo. Me costaba trabajo creer que la mitad de las veces hay cumpleaños repetidos en grupos de tan solo 23 personas. Ahora tengo otra manera de comprobar este resultado, la cual involucra simular grupos de personas a partir de mis amigos en Facebook que han hecho pública su fecha de cumpleaños. Como puedes ver, la siguiente gráfica contiene los cumpleaños de 255 amigos. Algunos de ellos se repiten para 2, 3 o hasta 4 personas. Tal es el caso del 22 de junio, 1 de octubre y 1 de diciembre, con 4 cumpleañeros en cada uno de esos días.

Con esta información, formé grupos de personas diferentes al azar y conté en cuántos de ellos se repetía al menos un cumpleaños. Así, la probabilidad obtenida de manera experimental es:

El objetivo aquí es comprobar si el caso experimental es igual al calculado, y como puedes ver en la gráfica, sí que lo son. En resumen, simulé grupos de 2 hasta 100 personas en 10 y 1000 ocasiones cada uno. Aquí puedes ver que la probabilidad obtenida experimentalmente no es exactamente igual a la calculada, pero tiende a serlo para el experimento simulado 10 veces. Sin embargo, ambas probabilidades son casi idénticas cuando el experimento se simula 1000 veces.

Pensamientos finales

Finalmente, nuestro calculo y nuestro experimento han llegado a la misma conclusión y efectivamente, tan solo se necesitan 23 personas para tener una probabilidad de 50% de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día. Sin embargo, esto solo se vuelve evidente cuando el experimento se repite muchas veces. Después de todo, así funciona la probabilidad.